Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12
a) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số
(f(x) = {1 trên 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 trên 2})
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ((C)) tại điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình (f”(x) = 0)
c) Tham số tham số (m) số nghiệm của phương trình: (x^4- 6x^2+ 3 = m)
Phần thưởng
a) Xét hàm số y = (f(x) = {1 trên 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 trên 2}) ((C))
Tập xác định: (D =mathbb R)
* Biến thể:
(y’ = 2x^3- 6x = 2x(x^2- 3))
(y’ = 0 x = 0, x = ±sqrt3)
– Hàm nghịch đảo trên các khoảng ((-infty;-sqrt3)) và ((0;sqrt3)), đồng biến trên các khoảng ((-sqrt 3;0)) và ((sqrt3;+infty)).
– Vô cùng:
Hàm đạt cực đại tại (x=0); (y_{CD}={3trên 2})
Hàm đạt cực tiểu tại hai điểm (x=-sqrt3) và (x=sqrt3); (y_{CT}=y_(pmsqrt3)=-3)
– Giới hạn:
(mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = + infty )
– Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.
b)
(y” = 6x^2- 6x)
(y” = 0 6x^2- 6x = 0 x = ± 1)
(y'(-1) = 4, y'(1) = -4, y(± 1) = -1)
Tiếp tuyến của ((C)) tại điểm ((-1, -1)) là : (y = 4(x+1) – 1= 4x+3)
Xem thêm: Unit 12 Lớp 8 – A Closer Look 2 – Báo Song Ngữ
Tiếp tuyến của ((C)) tại điểm ((1, -1)) là: (y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3)
c) Ta có: ({x^4} – 6{x^2} + 3 = m Mũi tên trái {1 trên 2}{x^4} – 3{x^2} + {3 trên 2} = {m trên ) 2}) (1)
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của ((C)) và đường thẳng (d): (y = {m trên 2})
Từ đồ thị ta thấy:
(m < -6): ( 1) vô nghiệm
(m = -6): (1) có 2 nghiệm
(-6 < m < 3): (1) có 4 nghiệm
(m = 3): ( 1) có 3 nghiệm
(m > 3): (1) có 2 nghiệm
Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12
Cho chức năng:
(y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1) ( (m) là tham số) có đồ thị (Cm)
a) Biện luận theo m cực trị của hàm số
b) Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành? c) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu
Phần thưởng
a) (y = -x^4+ 2mx^2- 2m + 1)(Cm).
Tập xác định: (D =mathbb R)
(y’ = -4x^3+ 4mx = -4x (x^2- m))
+) Với (m ≤ 0) thì (y’) có nghiệm (x = 0) và đổi dấu (+) thành (-) khi qua nghiệm này. Vậy hàm số có cực đại là (x = 0)
+) Với (m>0)
Hàm số có 3 cực trị.
Do đó hàm số có 2 cực đại tại (x = ± sqrt m) và một cực tiểu tại (x = 0)
b) Phương trình (-x^4+ 2mx^2- 2m + 1=0) luôn có nghiệm (x = ±1) với mọi m nên (Cm) luôn cắt trục hoành.
c) Theo cách giải câu a, ta thấy ngay:
với (m > 0) thì đồ thị (Cm) có cực đại, cực tiểu.
Bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Xem thêm: Soạn Bài Sóng Hay Và Hay Nhất – Ant Guru
(y = {{x + 3} trên {x + 1}})
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của (m) thì đường thẳng (y = 2x + m) luôn cắt ((C)) tại hai điểm phân biệt (M) và (N).
c) Xác định m sao cho độ dài (MN) nhỏ nhất
d) Tiếp tuyến tại bất kỳ điểm (S) nào của ((C)) luôn cắt hai tiệm cận của ((C)) tại (P) và (Q). Chứng minh rằng (S) là trung điểm của (PQ).
Phần thưởng
a) (y = {{x + 3} trên {x + 1}})
Tập xác định : (D=mathbb Rbackslash {rm{{ }} – 1} )
* Biến thể:
(y’ = {{ – 2} trên {{{(x + 1)}^2}}} < 0,x trong D)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng: ((-infty;-1)) và ((-1;+infty))
– Cực trị: Hàm không có cực trị.
– Tiệm cận:
(eqalign{ & mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} y = – infty cr & mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} y = + infty cr & mathop {lim } giới hạn_{x đến pm infty } y = 1 cr} )
Tiệm cận đứng: (x = -1)
Tiệm cận ngang: (y = 1)
Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt (Ox) tại ((-3;0)), cắt (Oy) tại ((0,3))
Đồ thị hàm số nhận điểm (I(-1;1)) làm tâm đối xứng.
b) Xét phương trình có nghiệm là tọa độ giao điểm của ((C)) và đường thẳng (d): (y = 2x + m) (1)
(eqalign{ & {{x + 3} trên {x + 1}} = 2x + m Leftrightarrow x + 3 = (2x + m)(x + 1) cr & Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1 ) )x + m – 3 = 0,x ne – 1 cr} )
(Δ = (m+1)^2- 4.2(m-3) = m^2- 6m + 25 = (m-3)^2+ 16 > 0) nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ( -Đầu tiên).
Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt (M, N) (thang ngang của (M, N) là nghiệm của (1)).
c) Theo định lý Viet ta có:
(left{ matrix{ {x_M} + {x_N} = – {{m + 1} over 2} hfill cr {x_M}. {x_N} = {{m – 3} over 2} hfill cr} right.)
Xem thêm: Viết bài cho Tây Tiến (chi tiết) – Loigiaihay.com
(eqalign{ & M{N^2} = {rm{ }}{left( {{x_M}-{x_N}} phải)^2} + {rm{ }}{({y_M} – {rm{ }} {y_N})^2} cr & = {trái( {{x_M}-{x_N}} phải)^2} + {trái[ {(2{x_M} + m) – (2{x_N} + m)} right]^2} cr & = 5{trái( {{x_M}-{x_N}} phải)^2} = 5trái[ {{{left( {{x_M}+{x_N}} right)}^2} – 4{x_M}{x_N}} right] cr &= 5left[ {{{( – {{m + 1} over 2})}^2} – 4.{{m – 3} over 2}} right] = {5 trên 4}({m^2} – 6m + 25) cr & = {5 trên 4}còn lại[ {{{(m – 3)}^2} + 16} right] ge {5 trên 4}.16 = 20 cr} )
(MN = 2sqrt5 m = 3)
Vậy độ dài nhỏ nhất (MN) bằng (2sqrt5) khi (m=3)
d) Giả sử (S(x_0;y_0)) là một điểm bất kì trên (C)
Phương trình của tiếp tuyến (Δ) với (C) tại (S) là:
(eqalign{ & y – y = y'({x_0})(x – {x_0}) cr & Leftrightarrow y = {{ – 2} trên {{{({x_0} + 1)}^2}}}( x – {x_0}) + {{{x_0} + 3} trên {{x_0} + 1}} cr} )
(Δ) cắt đường tiệm cận ngang tại (P(2x_0+ 1, 1)), (Δ) cắt đường tiệm cận đứng tại (Q( – 1,{y_0} + {2 trên {{x_0} + 1}}))
Rõ ràng: ({x_P} + {x_Q} = 2{x_0},{y_P} + {y_Q} = 2{y_0}). Do đó (S) là trung điểm của (PQ).
Bưu kiện 12 trang 47 SGK Giải tích 12
Cho hàm số: (f(x) = {1 trên 3}{x^3} – {1 trên 2}{x^2} – 4x + 6)
a) Giải phương trình (f'(sin x) = 0)
b) Giải phương trình (f”(cos x) = 0)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có tọa độ là nghiệm của phương trình (f”(x) = 0).
Phần thưởng
(f(x) = {1 trên 3}{x^3} – {1 trên 2}{x^2} – 4x + 6)
(f'(x) = x^2- x – 4)
(f”(x) = 2x – 1)
Một)
(eqalign{ & f'(s{rm{inx}}) = 0 Leftrightarrow {sin ^2}x – {mathop{rm s}nolimits} {rm{in x}} – 4 = 0 cr & Leftrightarrow {mathop{ rm s}nolimits} {rm{in x = }}{{1 chiều sqrt {17} } trên 2}(1) cr & Do{{1 – sqrt {17} } trên 2} < – 1,{{1 + sqrt {17} } over 2} > 1 điểm} )
Suy ra (1) vô nghiệm.
b)
(eqalign{ & f”(cosx) = 0 Leftrightarrow 2cosx – 1 = 0 cr & Leftrightarrow cos x = {1 trên 2} = cos {pi trên 3} cr & Leftrightarrow x = pm {pi trên 3} + k2pi ,k inmathbb Z cr} )
c) Nghiệm của phương trình (f”(x) = 0) là (x = {1 trên 2})
Chúng ta có:
(eqalign{ & f'({1 trên 2}) = {1 trên 4} – {1 trên 2} – 4 = {{ – 17} trên 4} cr & f({1 trên 2}) = {1 trên 3}. {1 trên 8} – {1 trên 2}. {1 trên 4} – 4. {1 trên 2} + 6 = {{47} trên {12}} cr} )
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:
(y = {{ – 17} trên 4}(x – {1 trên 2}) + {{47} trên {12}} Leftrightarrow y = – {{17} trên 4}x + {{145} trên {24 )}}).
giaibaitap.me
