1. Chức năng và tính chất nguyên thủy
Một. Định nghĩa
Kí hiệu (K) là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của (R).
Cho hàm số (f(x)) xác định trên (K).
Hàm số (F(x)) được gọi là nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên (K) nếu (F'(x) = f(x)) với mọi (x ∈ K).
b. định lý
1) Nếu (F(x)) là một nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên K, thì với mỗi hằng số (C), hàm số (G(x) = F(x)+C) cũng là một nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên (K).
2) Ngược lại, nếu (F(x)) là một nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên (K) thì mọi nguyên hàm của (f(x)) trên (K) đều có dạng (F() x ) + C) trong đó (C) là hằng số tùy ý.
Ký hiệu cho họ các nguyên hàm của hàm số (f(x)) là (∫f(x)dx)
Khi đó: (∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.)
c. Thuộc tính của nguyên thủy
Xem thêm: Đề thi học kì 2 môn Văn lớp 12 năm 2023 theo ma trận (20 đề)
(∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.)
(∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx )(với k là một hằng số khác 0)
(∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx)
đ. sự tồn tại nguyên thủy
định lý: Mọi hàm số (f(x)) liên tục trên (K) đều có nguyên hàm trên (K).
Bảng nguyên hàm của các hàm thường gặp
Nguyên hàm của các hàm sơ cấp
TIẾNG ANHUytên hàm của hàm union
(int 0dx = C)
(int dx = x + C)
(int x^{alpha }dx) = (frac{x^{alpha +1}}{alpha +1} +C) ((alpha≠ -1))
Xem thêm: Giáo án Ngữ Văn lớp 12 học kì 1 và học kì 2 đầy đủ, mới, đầy đủ, chuẩn, mới nhất
(int frac{1}{x}dx =lnleft | x phải | +C)
(int e^{x}dx = e^{x} +C)
(int a^{x}dx = frac{a^{x}}{lna} + C (a>0, a ≠ 1))
(int cosxdx = sinx + C)
(int sinxdx = – cosx + C)
(int frac{1}{(cos^{2}x)}dx = tanx + C)
(int frac{1}{(sin^{2}x)}dx = – cotx + C)
(int u^{alpha }dx = frac{u^{alpha +1}}{u’.(alpha +1)}+ C)
(int {frac{1}{u}} dx = frac{{ln|u|}}{{u’}} + C)
(int {{e^u}} dx = frac{{{e^u}}}{{u’}} + C)
(int {{a^u}} dx = frac{{{a^u}}}{{u’.lna}} + C)
Xem thêm: Bài 2 trang 84 SGK Giải tích 12 – Toán – Tìm lời giải
(int {cosudx = frac{{sinu}}{{u’}} + C} )
(int {sinudx = {rm{ }}frac{{ – cosu}}{{u’}}{rm{ }} + C} )
(int {frac{1}{{(co{s^2}u)}}} du = {rm{ }}frac{{tanu}}{{u’}} + C))
(int {frac{1}{{(si{n^2}u)}}} du = frac{{ – cotu}}{{u’}} + C))
2. Phương pháp tìm nguyên hàm
a) Phương pháp biến
Định lý 1: Nếu (int {fleft( u right)du} = Fleft( u right) + C) và (u = uleft( x right)) là các hàm có đạo hàm liên tục thì (int {fleft( {uleft( x right)) } right )u’left( x phải)dx} = Fleft( {u’left( x phải)} phải) + C)
Kết quả: (int {fleft( {ax + b} right)dx} = frac{1}{a}Fleft( {ax + b} right) + Cleft( {a ne 0} right))
b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lý 2: Nếu hai hàm (u = uleft( x right)) và (y = vleft( x right)) có đạo hàm liên tục trên (K), thì (int {uleft( x right)v’left( x right)dx} = uleft ( x phải)vleft( x phải) – int {u’left( x phải)vleft( x phải)dx} ).
Chú ý: Tốc ký (int {udv} = uv – int {vdu} ).
loigiaihay.com
